Montrer que si \(A\) est une matrice de format \(n\times n\) tel que \(P_A(A)=0\), de polynôme minimal \(P_{min}\) et telle que \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\), alors \(P_{min}(\lambda)=0\) et $$P_A=QP_{min}$$ (théorème de Cayley-Hamilton)

On va montrer que, pour tout \(v={\Bbb R}^n\), \(P_A(A)v=0\) pour \(v\neq0\)

Construction d'une base de \({\Bbb R}^n\) par sélection des vecteurs indépendants et par le théorème de la base incomplète
On regarde la suite de vecteurs \(v,Av,A^2v,\ldots,A^nv\)
Il y a \(n+1\) vecteurs de \({\Bbb R}^n\), ces vecteurs sont donc liés
On cherche \(k\) le plus petit possible tels que \(v,Av,A^2v,\ldots,A^kv\) sont dépendants
(ce qui signifie que \(v,Av,A^2v,\ldots,A^{k-1}v\) sont indépendants) (\(k\geqslant1\) car \(v\) est non nul)
Donc il existe \(a_0,\ldots,a_{k-1}\) tels que \(A^kv=a_0v+\ldots+a_{k-1}A^{k-1}v\)
On applique le théorème de la base incomplète pour trouver des vecteurs \(w_k,\ldots,w_n\) tels que $$\underbrace{v,Av,A^2v,\ldots,A^{k-1}v,w_k,w_{k+1},\ldots,w_{n-1} }_{n\text{ vecteurs}}$$ est une base de \({\Bbb R}^n\)

Expression de \(A\) dasn cette base
La matrice \(A\) dans cette base est donc : $$A=\left(\begin{array}{cccccc|cccc} 0&0&0&\cdots&\cdots&a_0\\ 1&0&0&\cdots&\cdots&a_1\\ 0&1&0&\cdots&\cdots&a_2\\ 0&0&1&&\fbox{k* k}&\vdots&&&&?&&&\\ 0&0&0&&&\vdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&&&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1&a_{k-1}\\ \hline\\ \\ \\ &&&&&&&&&B^{(n-k)\times(n-k)}\\ \\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&0&0&0\end{array}\right)$$

Calcul du polynôme caractéristique de \(B\)
Par opérations élémentaires sur les vecteurs, on a : $$\begin{align}\operatorname{det}(B-X-\operatorname{Id})&=(-1)^{k+1}(a_k+a_1X,\ldots,a_{k-1}X^{k-1}-X^k)\operatorname{det}\begin{pmatrix}1&&&\varnothing\\ &1\\ &&\ddots\\ \varnothing&&&1\end{pmatrix}\\ &=(-1)^{k+1}(a_k+a_1X,\ldots,a_{k-1}X^{k-1}-X^k)\end{align}$$

On veut montrer que \(P_A(A)=0\)
On a donc : $$\begin{align} P_A(A)&=P_B(A)(-1)^{k+1}(a_0\operatorname{Id}+a_1A+a_2A^2+\ldots+a_{k-1}A^{k+1}-A^k)(v)\\ &=P_B(A)(-1)^{k+1}\underbrace{(a_0\operatorname{Id} v+a_1Av+a_2A^2v+\ldots+a_{k-1}A^{k+1}v-A^kv)}_{=0\text{ par définition des coefficients }a_i}\\ &=0\end{align}$$ le théorème est donc démontré